Un professore e i suoi collaboratori hanno dimostrato la congettura di Pólya sugli autovalori di un disco, un problema complicato in matematica.
È possibile dedurre la forma di un tamburo dai suoni che produce?
Questo è il tipo di domanda che Iosif Polterovich, professore del Dipartimento di Matematica e Statistica dell’Università di Montréal, ama porre. Polterovich utilizza la geometria spettrale, una branca della matematica, per comprendere i fenomeni fisici che coinvolgono la propagazione delle onde.
Scoperta nella congettura di Pòlya
L’estate scorsa, Polterovich e i suoi collaboratori internazionali – Nikolay Filonov, Michael Levitin e David Sher – hanno dimostrato un caso speciale di una famosa congettura sulla geometria spettrale formulata nel 1954 dall’eminente matematico ungherese-americano George Pólya.
La congettura riguarda la stima delle frequenze di un tamburo rotondo o, in termini matematici, degli autovalori di un disco.
Questo grafico mostra le funzioni di Bessel, dove i punti corrispondono alle frequenze dei suoni provenienti da un tamburo rotondo. Credito: Michael Levitin
Lo stesso Pólya confermò la sua congettura nel 1961 per i domini che piastrellano un piano, come triangoli e rettangoli. Fino allo scorso anno la congettura era nota solo per questi casi. Il disco, nonostante la sua apparente semplicità, rimaneva sfuggente.
“Immaginate un pavimento infinito ricoperto di piastrelle della stessa forma che si incastrano per riempire lo spazio“, ha detto Polterovich. “Può essere piastrellato con quadrati o triangoli, ma non con dischi. Un disco in realtà non è una buona forma per la piastrellatura”.
L’universalità e l’impatto della matematica
In un articolo pubblicato nel luglio 2023 sulla rivista matematica Inventiones Mathematica , i ricercatori hanno dimostrato che la congettura di Pólya è vera per il disco, un caso considerato particolarmente impegnativo.
Sebbene il loro risultato sia essenzialmente di valore teorico, il loro metodo di dimostrazione ha applicazioni nella matematica computazionale e nel calcolo numerico. Gli autori stanno ora indagando su questa strada.
Iosif Polterovich
“Sebbene la matematica sia una scienza fondamentale, in qualche modo è simile allo sport e alle arti”, ha affermato Polterovich.
“Cercare di dimostrare una congettura di vecchia data è uno sport. Trovare una soluzione elegante è un’arte. E in molti casi le belle scoperte matematiche si rivelano utili: devi solo trovare la giusta applicazione”.
Riferimento: “Pólya’s conjecture for Euclidean balls” di Nikolay Filonov, Michael Levitin, Iosif Polterovich e David A. Sher, 5 giugno 2023, Inventiones mathematicae .
DOI: 10.1007/s00222-023-01198-1